随机变量的特征函数

随机变量的概率密度为\(f_X(x)\)，其特征函数定义为： \[\phi_X(\omega) = E[e^{j\omega X}] = \int_{-\infty}^{+\infty}f_X(x)e^{j\omega x}dx\] 也就是原密度函数的傅里叶变换后的频域函数，其特性与傅里叶变换相同 eg. 正态分布的特征函数推导 $X() = E[e^{jX}] = {-}^{+}e{-}e^{jx}dx $ \(\ \ \ \ \ \ \ \ = e^{j\mu \omega-\frac{1}{2}\sigma^2\omega^2}\) 两个正态分布的随机变量相加 \(Z = X+Y,\ X,Y\)独立，则其概率密度函数作卷积，根据傅里叶变换的性质有： \[\phi_Z(\omega) = \phi_X(\omega) \cdot \phi_Y(\omega) \] \[=e^{j(\mu_1+\mu_2) \omega-\frac{1}{2}(\sigma_1^2+\sigma_2^2)\omega^2}\] 逆变换回来，Z就是一个均值\(\mu_1+\mu_2\),方差\(\sigma_1^2+\sigma_2^2\)的正态分布

高维的情况下，\(Z = X + Y\)，若\(X,Y\)的不同维度之间都是不相关的，则可以分解成N个一维的情况，若是相关的，则无法推出Z也是一个正态分布。 举个反例，二维情况下，X的分布接近于一撇的形状，Y接近于一捺，则合起来Z相当于一个’X’的形状，并不是高斯的。

随机变量的矩生成函数

下面介绍矩生成函数： 定义随机变量的X的矩生成函数\(M(t)\) \[M(t) = E[e^{tX}] = \int_{-\infty}^{+\infty}f_X(x)e^{tx}dx = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{EX^n}{n!}t^n\] 正态分布X的矩生成函数 \[M_X(t) = E[e^{tX}] = e^{t\mu +\frac{1}{2}t^2\sigma^2}\] 形式上和特征函数很像